Distintas maneras de entender qué es un triangulo

Distintas maneras de entender qué es un triangulo
Cotidianamente todos hablamos de triángulos. 

No sólo la palabra forma parte de nuestro vocabulario habitual, en algún caso técnico, sino que incluso no consideramos problemático entender qué cosa es un triángulo:

Usamos el vocablo porque comprendemos su significado, ya que si no lo hiciéramos no nos entenderíamos entre nosotros y no podríamos estar seguros de qué queremos decir cuando incluimos el término "triángulo" en nuestras conversaciones o escritos.

Lo mismo corre con la palabra "triangular".

Pero ¿sabemos realmente qué cosa es un triángulo?
 ¿No usamos acaso, algunas veces, la palabra "triángulo" con diferentes significados sin darnos cuenta?

Distintas maneras de entender la palabra "triángulo"

Un triángulo es una figura geométrica. Habitualmente, relacionamos el triángulo con ciertas características esenciales, como ser una figura conformada por tres lineas, poseer ángulos internos cuya suma es de 180°, etc.

Pero aquí ya ha surgido un problema: que la suma de los ángulos interiores de un triángulo sea igual a 180° no es algo que esté en absoluto claro.

De hecho, esa es una característica del triángulo en la geometría euclidiana, pero existen geometrías no euclidianas en las que un triángulo no tiene tal característica.

Esto no es una cuestión relativa a sofisticación de matemáticos o expertos en geometría con mucho tiempo libre: por el contrario, es un tema muy complejo porque si se interpreta que la geometría es la disciplina que describe la naturaleza del espacio físico -como pensaba Einstein, por ejemplo-, ocurre que la teoría actual acerca de la misma (la teoría general de la relatividad) asume que el espacio no se comporta de manera euclidiana.

O sea, que en el macrocosmos, en grandes distancias, la suma de los ángulos internos de un triángulo es diferente de 180° según la geometría riemanniana de cuvatura variable empleada por Albert Einstein.

La simple explicación de por qué si usamos un compás los triángulos de nuestra experiencia aparentan medir 180° en su sumatoria es que las distancias en que nos manejamos cotidianamente son pequeñas: al igual que nos parece que la tierra que pisamos es plana, o que un escarabajo en el desierto tiene por universo el desierto.

Pero esto no significa que un triángulo sea algo cuyos ángulos interiores suman más de 180°, pues, suponiendo que la teoría einsteiniana sea correcta, ésta se refiere a triángulos físicos, o sea a triángulos del espacio real, situado espaciotemporalmente.

Einstein asumía que la geometría era geometría física, interpretada empíricamente, la disciplina que permitía revelar ciertas características estructurales del espacio real, de nuestro mundo.

Pero la geometría (y qué cosa es un triángulo) puede ser interpretada de otro modo: como una disciplina ideal o formal, tal como la matemática.

En este sentido, un triángulo es una figura abstracta, y nada más.
Luego podrá alguien hacer una interpretación física de la geometría, pero entonces tendremos la geometría pura y la aplicada, la geometría formal y la geometría física, siendo ambas diferentes.

Porque después de todo, si como afirmaba Euclides de Alejandría, una recta está constituida por puntos, y un punto es lo que no tiene extensión o anchura, entonces la geometría no se refiere a nada físico a nada situado en el tiempo ni en el espacio.

Un triángulo, en el sentido de entidad abstracta o ideal, forma parte de la misma bolsa que los números, diferentes de los numerales y de cualquier enumeración concreta de objetos -conceptuales o materiales-, lo que sería aritmética aplicada, de manera similar a como un triángulo abstracto puede interpretarse como una entidad física.

De manera que podemos entender que un triángulo es:
1) una entidad abstracta euclidiana
2) una entidad abstracta no euclidiana (perteneciente y definida por alguna teoría geométrica hiperbólica o elíptica)
3) una entidad física real, como el triángulo en papel o un triángulo entre tres estrellas, de naturaleza euclidiana.
4) una entidad física real, como el triángulo en papel o un triángulo conformado por tres estrellas, de naturaleza no euclidiana.

Lo que queda claro de todo esto, es que si estudiamos geometría, sea la de Euclides, la de Riemann o la de Bolyai, Lobatchevsky y Gauss, la teoría que elijamos se refiere a algo muy diferente de un dibujo en un papel o una pizarra, y lo que ocurra físicamente (como la medición sobre un dibujo) nada tiene que ver con las entidades abstractas, por lo que es enormemente dudoso, desde el punto de vista de la filosofía de la geometría, que el dibujo sirva para probar lo que ocurre en el ámbito de la idealidad, en el mundo abstracto definido por esas teorías.

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