La locura del infinito , y más allá

La locura del infinito , y más allá
¿Cuántos números naturales hay? Si empezamos a contar, 1, 2, 3...

¿Acabaremos algún día?   noop

No, porque siempre podremos encontrar un número más grande. La cantidad de números naturales es infinita.

El infinito es un concepto curioso. Si tomamos los infinitos números pares ¿hay más, menos o igual que naturales?

Podemos pensar que hay más naturales que pares, ya que estos son un subconjunto, una parte de aquellos.

Grave error: hay tantos naturales como pares. Para verlo, pongamos en fila todos los números pares (2, 4, 6, 8, 10...) y debajo los números naturales (1, 2, 3, 4, 5...)

¿Podemos unir por flechas cada número par con cada número natural? Sí, y no sobra ninguno. Lo mismo ocurre con los cuadrados, el resultado de multiplicar un número por sí mismo.

El cuadrado de 1 es 1, el de 2, 4, el de 3, 9... La sucesión de los cuadrados de los números naturales (1, 4, 9, 16, 25...) también es un subconjunto de los números naturales pero hay la misma cantidad de los dos. Que una parte de un conjunto tenga tantos elementos como todo el conjunto es tan raro que el mismo Galileo dijo que lo infinito era intrínsecamente incomprensible.

El concepto de infinito fue algo desconcertante hasta el siglo XIX. Más concretamente entre 1874 y 1884, cuando un matemático alemán, Georg Cantor, demostró que la infinitud podía ser tratada matemáticamente.

Definió un número infinito así: aquél que se puede emparejar con cierta parte de sí mismo, como hemos visto antes. Y encontró una serie de resultados sorprendentes: que hay tantos números naturales como fracciones (o números racionales), y que hay tantos puntos en una línea recta -infinita- como en un plano o en el espacio -infinitos-. «Lo veo pero no lo creo» escribió en 1877 Cantor al matemático alemán Richard Dedekind.

También encontró que hay más puntos en una recta que números naturales, lo que significa que el infinito de la recta es mayor que el de los números naturales. Al infinito más pequeño, el de los números naturales, lo llamó álef sub-cero.

El siguiente, el número de puntos de una recta, es álef sub-uno. A partir de ahí sigue una serie interminable que bautizó como números transfinitos.

Sus ideas no hallaron una aceptación inmediata entre sus colegas. Uno de sus antiguos profesores, Leopold Kronecker -que los estudiantes de matemáticas conocerán por la delta de Kronecker-, fue un crítico durísimo: lo calificó como matemáticamente demente y puso todo su empeño para que no fuera profesor en la Universidad de Berlín.

Los ataques de sus colegas tuvieron un tremendo efecto en Cantor, un hombre de por sí un tanto paranoico.

Empezó a ver conspiraciones contra él y dejó de colaborar con la única revista matemática que publicaba sus trabajos porque estaba convencido que su director formaba parte de una conjura.

En la primavera de 1884 sufrió una crisis nerviosa y la última parte de su vida transcurrió entre depresiones.

Poco a poco los matemáticos empezaron a reconocer la valía de su trabajo.

En 1926 el gran David Hilbert dijo: «Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor creó para nosotros».

Por desgracia, el pobre no pudo escuchar sus palabras: había muerto 8 años antes en un manicomio.


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