Serie de Fibonacci, número aureo, número de euler

Constantes de la Naturaleza. .. serie de Fibonacci, número aureo, número de euler.

“El libro de la Naturaleza está escrito con el lenguaje de las matemáticas”, dijo Galileo Galilei en 1623. Veamos algunos ejemplos.

En la cabeza de un girasol, las semillas se disponen en espirales de 34 y 55, o 55 y 89 unidades. Estos números se corresponden con la secuencia de Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…), en la que cada termino se genera a partir de la suma de los dos anteriores. Lo mismo ocurre con la posposición de los pétalos y semillas de otras muchas plantas.

Sigamos en el mundo animal. Las reglas para la actividad productora en un panal de abejas son estas:

* Si un huevo dejado por una abeja hembra no es fertilizado, de este nacerá una abeja macho.

* Si el huevo dejado por la abeja hembra es fertilizado por un macho, de este nacerá una abeja hembra.

serie de Fibonacci

Así pues, una abeja hembra tendrá siempre un padre y una madre, mientras que una abeja macho tendrá solamente una madre.

Si seguimos los ascendientes de una abeja macho (1), esta vendrá de una abeja hembra (1 madre). Esta abeja hembra tuvo una madre y un padre (2 abuelos).

El abuelo tuvo una madre, y la abuela tuvo una madre y un padre (3 bisabuelos). El bisabuelo tuvo una madre y las dos bisabuelas tuvieron ambas padre y madre (5 tatarabuelos)… vemos que se sigue la serie.

Si dividimos cada termino de la serie de Fibonacci por el inmediatamente anterior (por ejemplo, 55/34), el resultado es aproximadamente siempre el mismo: una constante con infinitas cifras decimales conocida con la letra griega Phi (Φ), y cuyo valor es 1’6180339…

A medida que avanzamos en la secuencia de Fibonacci más se acerca el ratio de cada par de números al valor exacto de Phi, conocido como el número áureo, y también denominado número de oro, número dorado, sección áurea, razón áurea, razón dorada, media áurea y divina proporción.

Podemos llegar a este numero desde una sencilla reconstrucción geométrica que cumpla la siguiente condición: dividimos un segmento cualquiera en dos partes, a y b , de manera que la razón entre la totalidad del segmento y la parte a sea igual a la razón entre la parte a y la parte b.

naturaleza matematica

Podemos también construir una serie de rectángulos en los que los lados mantengan la proporción áurea. Basta con empezar dibujando dos pequeños cuadrados que tengan de lado una unidad.

A partir de ellos se forma otro cuyo lado es de 2 unidades, seguimos con cuadrados de lado 3, 5, 8, 13… Si los ordenamos crecientemente de forma que compartan sus lados, obtenemos una serie de rectángulos que cumplen la proporción áurea; esto es, rectángulos de lados 2×3, 3×5, 5×8, 8×13….

naturaleza matematica 2

Si unimos los vértices de estos rectángulos se forma una curva (espiral de Fibonacci) casi idéntica a la que aparece en las conchas de moluscos como el nautilus, en la forma de la Vía Láctea, en los cuernos de los rumiantes e incluso en el caracol de nuestro oído interno.

Esta espiral tiene la peculiaridad de que su forma y proporciones no se alteran aunque aumente su tamaño.

La cosa no queda aquí, porque al numero de oro también lo encontraremos en:

* La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.

* La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.

* La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.

* La relación entre las divisiones vertebrales.

* La relación entre las articulaciones de las manos y los pies.

Además, las plantas posicionan sus hojas de acuerdo a los patrones de Fibonacci. El crecimiento de las plantas se da en la punta del tallo (meristemo apical del tallo), que tiene una forma cónica.

Cuando se ve la planta desde arriba, se observa que las hojas que crecieron primero (las que están más abajo) tienden a estar radialmente mas alejadas del tallo. También están giradas con respecto al eje del tallo para no solaparse unas a otras.

En 1837 los hermanos Bravais (Auguste y Louis) descubrieron que las nuevas hojas avanzan en forma rotatoria aproximadamente el mismo ángulo, y que este ángulo está cerca de 137.5º.

Este número está directamente relacionado con Phi. Si se calcula 360º/Phi, se obtiene 222.5º. Y el complemento, 360º-222.5º, es precisamente 137.5º, también llamado el ángulo áureo.

Esto ocurre porque cuando una planta crece, la estrategia que utiliza para garantizar su supervivencia consiste en maximizar la distancia entre las ramas y las hojas, buscando ángulos que no se solapen y en los que cada una de ellas reciba la mayor cantidad posible de luz, agua y nutrientes.

El resultado es una disposición en trayectoria ascendente, y en forma de hélice, en la que se repiten los términos de la sucesión de Fibonacci.



naturaleza matematica 4

Por otra parte, al numero Pi (que resulta de dividir el perímetro de un circulo entre su diámetro) lo encontramos no solo en los objetos de naturaleza circular. La altura de un elefante, del pie al hombro, se obtiene multiplicando Pi por 2 y por el diámetro de su pie.

También ocurre que el resultado medio para todos los ríos del ratio entre su longitud real, desde su nacimiento hasta su desembocadura, y lo que mide la línea recta entre ambos puntos es aproximadamente 3’14, cercano al valor de Pi. Esto es, Longitud real/Longitud en línea recta = π

Terminamos con algo muy curioso. La formula del crecimiento de una colonia de bacterias contiene al numero de euler (e), pues se ajusta al llamado crecimiento exponencial.

Este tipo de crecimiento surge cuando no hay factores que lo limiten. Los virus también crecen exponencialmente y, ante su ataque, el organismo reacciona lentamente.

Esta es la respuesta correcta: si la respuesta fuese tan rápida como el ataque, se produciría un equilibrio, y arrastraríamos la gripe durante largos años.

Al ser lenta, el organismo puede hacer acopio de anticuerpos y dar un ataque masivo.


La mejor parte de Pi

Si gozaras de un pulso mucho más firme del que efectivamente tienes, y te dispusieras a dibujar círculos en una hoja a modo de pasatiempo, todas tus obras terminarían siendo un ejemplo perfecto de la celebrada proporción π (pi).

No importa si tu círculo tiene 10 centímetros o 10 años-luz de diámetro, si lo has dibujado correctamente, la extensión total de su circunferencia será siempre unas 3,14 veces su diámetro.
La mejor parte de Pi
Esta es una realidad geométrica intrínseca a la forma redonda, y uno de los números más importantes y persistentes en los razonamientos matemáticos.

Tan fundamental es esta relación que incluso nuestras sociedades más antiguas la daban ya por cierta –evidenciado por papiros y tablas de arcilla de la era– y estimaban el valor de la constante con menos de 1% de diferencia con la realidad.

Desde muy temprano en nuestra historia, el número π ha estado entre nosotros, no como una característica nativa del universo –como lo sería la velocidad de la luz– sino como un concepto; una noción ideal inventada por el ser humano para hacer sentido del cosmos.

Desde que el matemático griego Arquímedes construyó un algoritmo para incrementar la precisión del valor de π, tratar de calcular más decimales de la constante se ha convertido en un ejercicio divertido para quienes trabajan con los números, revolucionado por el desarrollo de las series infinitas en el siglo 15, y la creación del cálculo infinitesimal durante el siglo 16.

Tanto el genial Isaac Newton como su contemporáneo alemán, Gottfried Leibniz, dedicaron buena parte de su tiempo a la aproximación de π, sumando continuamente cadenas de valores para ir mejorando el resultado.

Con respecto a esta distracción momentánea, Newton confesaría luego en una carta a un colega, “me avergüenza decirte por cuántas cifras hice estos cálculos, no teniendo nada mejor que hacer en el momento”.

Juntos, Leibniz y el escocés James Gregory lo llevaron aún más lejos, generando la que se conocería posteriormente como “serie Gregory-Leibniz” –o como serie Madhava, en honor a su descubridor original en India– permitiendo a los futuros matemáticos la mejora progresiva de las estimaciones.

En pleno siglo 20, Daniel Ferguson calcularía 1120 dígitos de π, empleando aún una variación de este principio. A partir de allí, ningún ser orgánico ha logrado vencer el récord, aunque matemáticos prodigiosos como Srinivasa Ramanujan han producido maneras innovadoras y elegantes de acelerar el cálculo.

Las máquinas, por supuesto, no han tenido dificultades en superarnos, con la súper-computadora PiHex produciendo más de mil billones de dígitos binarios de π en el transcurso de un mes –un número similar a la cantidad de hormigas que hay en La Tierra.

En el cálculo usual de base 10, el récord lo tiene el equipo de Shigeru Kondo, que computó 12 millones de millones de valores en diciembre del 2013.

Pasando del aprecio profesional, el número π, quizá más que cualquier otro valor matemático, se ha convertido en todo un fenómeno cultural en tiempos modernos.

Alrededor del mundo se realizan concursos de memorización de sus decimales, y ya en varios países es común ver que se celebre el “Día de Pi” durante el mes de marzo.

Claramente, se trata de un feliz accidente de calendario: en el mundo anglosajón, el día 14 del tercer mes se escribe “3/14”, permitiendo una equivalencia directa con los primeros tres dígitos de π.

Este año aún más, pues como sucede una vez cada siglo, la finalización “15” permitió incluir hasta 9 decimales en la fecha y hora del día: 3/14/15 – 9 horas con 26 minutos y 53 segundos.

Esta es una relación que va bastante más allá de la casualidad: las ecuaciones básicas de la relatividad general incluyen inescapablemente al valor π.

Newton definió prodigiosamente el cálculo de la gravedad entre dos cuerpos, pero nunca pudo comprender cuál era el mecanismo que permitía esta “acción a distancia” entre objetos lejanos.

La ausencia de un medio de transmisión era algo que le molestaba profundamente, diciendo incluso que se trataba de “un absurdo que no podía aceptar ningún hombre que tuviese facultad en asuntos filosóficos”.

Como Albert nos revelaría siglos después, ese medio no es más que el espacio mismo, que se “dobla” ante la presencia de energía y desvía la trayectoria de los objetos.

En la fórmula original de Newton solo se consideraban las masas y la distancia para generar el resultado, pero la propagación en el espacio tridimensional de Einstein requería definir “esferas” alrededor de la fuente de gravedad (es decir, áreas separadas por la misma distancia del punto central), y luego sumar todas esas superficies para establecer la geometría del espacio-tiempo.

Justo aquí entra nuestro protagonista en escena nuevamente pues, como bien sabemos, el área de una esfera es 4π x radio², lo que enlaza necesariamente esta constante al cálculo relativístico.

Con simpleza y elegancia, Einstein utilizó a π para cambiar al mundo, una tarde de 1915.

La celebración de un valor tan importante es indudablemente positiva, pero lo más interesante del día de π no son los dígitos que podemos memorizar, sino todo lo contrario: la mejor parte de π es lo que no podemos cuantificar. 3,14 pueden ser los números más significativos de la serie, pero lo cierto es que π es un número irracional infinito, completamente azaroso, que contiene cualquier secuencia numérica que puedas imaginar dentro de sí.

Con todo el uso que le damos es fácil pensar que lo tenemos dominado, pero ¿qué cerebro puede realmente dominar la infinitud?

En este sentido, el número π no es demasiado distinto del universo mismo: incomprensible pero debatible; en expansión constante pero finito en apariencia; lleno de patrones arbitrarios condenados a repetirse; hermoso precisamente porque su totalidad no cabe en la mente humana.

Aunque nuestras vidas tengan inevitablemente un final, qué bueno es que podamos dedicar un día a celebrar la eternidad y sus misterios.

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