Uno ,dos, tres ...

Números, Matemática,
Podría parecer que el número uno es un número tan simple que no podemos contar nada con y sobre él.

Sin embargo, si sigue leyendo, se va a encontrar con algunas sorpresas de lo más intrigante sobre este numerito.

Los griegos de la antigüedad no daban mucha importancia al número uno.

El primer número para ellos era el dos, curiosamente el que debería ser el segundo.

Los griegos pensaban que los números no tenían sentido si no servían para evaluar diferencias.

Dos objetos son siempre diferentes, pero uno, bueno, es siempre igual a sí mismo.

No merece la pena contarlo.

Sin embargo, el número uno es el más importante de todos los números, puesto que en él se basan todos los demás.

El uno es además el número que posiblemente dio el impulso necesario para el nacimiento de la escritura, y en consecuencia, para el nacimiento de la Historia.

 En algún momento de la prehistoria, fue importante contar los animales, o los recipientes de aceite o de grano.

Inicialmente, los animales o alimentos se representaban con guijarros u otros objetos materiales, hasta que a un genio, o genia, se le ocurrió representarlos como marcas sobre un panel de arcilla.

Las marcas no fueron sino pequeñas rayas que se iban añadiendo unas a otras.

Estas marcas se han convertido en los números que escribimos hoy.

Si se fijan, el 1 no es más que una raya vertical, y el 2 puede considerarse como una raya horizontal y otra curva sobre ella.

El 3 está formado, obviamente, por tres rayas horizontales, y el 4, por cuatro rayas formando una especie de cuadrado con un lado desplazado.

El 5 son cinco rayas, como seis rayas forman el 6.

Incluso el 8 son dos cuadrados de cuatro rayas uno sobre el otro.

Esto puede verse mejor en una pantalla digital, por ejemplo de esas que indican el piso en el que estamos en los ascensores.

Pero además de ser el número más importante, el número uno es el más frecuente de entre los números que se encuentran en el primer dígito de cualquier medida real.

Por ejemplo, tome usted la lista de los países del mundo y de su superficie en km cuadrados y cuente cuántos de esos números comienzan por uno, cuántos por dos, cuántos por tres, etc.

¿Ha terminado ya?

Si lo ha hecho, verá que no comienzan por uno alrededor del 11% de los números, como sería de esperar si los números del 1 al 9 tuvieran la misma probabilidad de aparecer en esa posición.

Sorprendentemente, comienzan por uno alrededor del 30% de los números, y por nueve, solo el 5% de los mismos.

De que los números en una lista de datos comenzaban más frecuentemente por uno que por los otros dígitos se dio cuenta por primera vez, en 1881, Simon Newcomb.

Este astrónomo estadounidense comprobó con sorpresa que los libros de tablas de logaritmos, que listaban los logaritmos de los números naturales, estaban siempre más usados por el principio que por el final, lo que quería decir no que los matemáticos prefirieran logaritmos que comenzaban por números bajos, sino que estos eran más frecuentes que los que comenzaban por números altos.

Nadie se preocupó de demostrar estadísticamente si lo que decía Newcomb era cierto hasta 1937, año en que el matemático Frank Benford se dedicó a investigar la distribución de los primeros dígitos de una lista de más de 22.000 números referentes a medidas de diversas magnitudes, como la longitud o área de los ríos, la altura de las montañas, el volumen de los lagos o el peso molecular de algunas sustancias.

Benford encontró que, en efecto, en esa lista, alrededor del 30% de los números comenzaban por el dígito 1, el 18% por el dígito 2, el 12% por el 3 y la frecuencia de los primeros dígitos iba disminuyendo hasta el 9, que representaba sólo alrededor del 5%.

Lo curioso es que esto parece ser una ley que se cumple con todas las listas no aleatorias de números que recogen medidas reales, y que es, además, independiente de las unidades de medida.

Es decir, si tenemos una lista de alturas de montañas en metros y la transformamos a pies, o a yardas, o a pulgadas, la nueva lista cumplirá también la ley de Benford.

¿Por qué?

Para entender esto, supongamos que tenemos esa lista de números y que decidimos duplicarla, lo que equivale a usar una unidad de medida la mitad de la anterior.

Quizá pensemos que aquellos números que comienzan por uno, comenzarán ahora por dos, pero esto es incorrecto.

Por ejemplo, es cierto que el número 110 se convertirá, al duplicarlo, en 220, pero el número 153 se convertirá en 306, que ya no comienza por dos.

Por otra parte, el número 524 se convertirá en 1.048, el 734 en 1.468 y el 856 en 1.712, todos ellos números que ahora comienzan por uno.

De esta manera, la distribución de dígitos en la primera posición permanece invariable y la ley de Benford se sigue cumpliendo.

Por otra parte, supongamos que, comenzando con el valor 1.000, el índice IBEX de la bolsa comienza su cotización.

Es claro que para pasar del índice 1.000 al 2.000, necesitaremos un incremento del valor de la bolsa del 100%, mientras que para pasar de 2.000 a 3.000, sólo necesitaremos un incremento del 50% y para pasar de 3.000 a 4.000, un incremento del 33,3%.

El paso de un dígito inferior a otro superior en la primera posición necesita cada vez un menor incremento. Esta propiedad explica también la ley de Benford que se refleja en los números que representan medidas del mundo real.

Así pues, los números que comienzan por uno parecen más frecuentes que los que comienzan por otros dígitos. ¿Podemos usar este conocimiento para incrementar las probabilidades de ganar el Gordo de la Lotería de Navidad, comprando un décimo que comience por uno?

Me temo que no, puesto que los números de la lotería son aleatorios, y no cumplen, por tanto, la ley de Benford.

Así pues, no se altere, tiene usted las mismas probabilidades de ganar el Gordo (es decir, muy pocas) tanto si tiene un décimo que comienza por uno como si comienza por nueve...

Ahora

Imagina que uno de tus amigos, o amigas, sólo sabe contar hasta cuatro.

Tu amigo o amiga no es un bebé, sino una persona hecha y derecha.
 
No es una persona anormal o disminuida psíquicamente, sino alguien perfectamente normal y adaptado a la vida actual.

¿Es esto posible en el mundo de hoy, el mundo de Internet y de los ordenadores ultrarrápidos? Contemos hasta cinco antes de responder a esta pregunta.
¿Ya? Bien. Si has podido contar hasta cinco, ya sabes más matemáticas que tu amigo.

 ¡Enhorabuena!

Respondamos ahora a la pregunta.

Pues claro que sí, es posible.

Es posible tener un amigo que sólo sepa contar hasta cuatro.

Es posible si tu amigo es un miembro de la etnia de los Mundurucús, que habita en aldeas que bordean los afluentes del Amazonas, en Brasil.

 ¿Quién hubiera podido imaginarlo?

Los Mundurucús son una etnia extraordinaria que cuentan con unos siete mil miembros, que sólo cuentan hasta cuatro.
Es evidente que esta etnia no sabe de cuantos miembros dispone, ya que dispone de más de cuatro.

Sólo los miembros de etnias matemáticamente más desarrolladas, como la nuestra, pueden contar cuántos individuos pertenecen a los Mundurucús.

El interés de esta etnia reside, precisamente, en esta extraordinaria capacidad para odiar las matemáticas.

El lenguaje de esta gente no dispone de palabras para números mayores que cuatro, y tras llegar a esa cantidad, la palabra que utilizan para representar cantidades mayores es “un puñado” o “un montón”.

Lingüistas y neurólogos estudian desde hace tiempo la cuestión de si, en alguna medida, las capacidades de cálculo de nuestra especie son innatas, o si son todas adquiridas, es decir, un producto de la cultura.

En otras palabras, ¿puede el ser humano calcular sin disponer de palabras o de símbolos para representar los números?

Para responder a esta pregunta, algunos investigadores han estudiado la capacidad de cálculo de niños de tan sólo cuatro meses de edad.
Puesto que esos niños no son aún capaces de hablar, es evidente que no disponen de palabras para representar los números, ni de otros símbolos que permitan manipularlos.

Pues bien, en esas condiciones, ha quedado demostrado que esos niños son capaces de saber que uno y uno suman dos, y no uno, o tres.

Por consiguiente, algunas de nuestras capacidades de cálculo son innatas, y no aprendidas.

Pero estudiar las capacidades cognitivas de niños de sólo meses de edad es muy dificultoso.

No es posible realizar estudios complicados o hacerles preguntas.
Para conocer cuantas de nuestras capacidades de cálculo son innatas y cuales son adquiridas, necesitaríamos estudiar a individuos adultos que no hubieran recibido nunca entrenamiento matemático y los cuales no dispusieran tampoco de herramientas de representación lingüística o simbólica de los números.

¿Dónde encontrar a individuos como esos en el mundo de hoy, si quien más quien menos entiende que un euro son 166,386 pesetas?

Los Mundurucús vinieron al rescate de los pocos investigadores que estudian estas importantes cuestiones sobre las capacidades de nuestra propia especie.
Los Mundurucús no disponían de las herramientas culturales o lingüísticas necesarias para el aprendizaje de la manipulación numérica, lo que les convertía en los individuos ideales para estudiar la cuestión de sus capacidades de cálculo innato.

Para este estudio, el lingüista Pierre Pica, que había pasado algún tiempo viviendo entre los Mundurucús aprendiendo su lenguaje, y que se había dado cuenta del extraño hecho de la ausencia de palabras para números mayores que cuatro, contactó con el especialista de la psicología cognitiva de la aritmética Stanislas Dehaene.
Éste último se da cuenta de que los individuos de esa etnia no tienen su cerebro contaminado por el aprendizaje de un sistema numérico y constituyen un tesoro de la Humanidad para resolver la cuestión de las capacidades de cálculo innatas.
Stanislas Dehaene se muestra encantado de colaborar con Pierre Pica y desarrolla tres pruebas cognitivas a las que su colega Pierre debe someter a los Mundurucús.
Las mismas pruebas son utilizadas para estudiar cómo las realizan individuos medios de nuestra cultura.

En la primera prueba, se presenta a los Mundurucus dos montones de semillas; de una ojeada, deben estimar cuál contiene más.
Los resultados son bastante claros, y no existen diferencias significativas de capacidad de realización de esta prueba entre los Mundurucús y nosotros, si bien parece que lo hacen un poco peor.

En cualquier caso, queda demostrado que los Mundurucús poseen la capacidad de comparar dos cantidades sin contarlas.

En la segunda prueba, los Mundurucús pueden ver cómo se añade un puñado de semillas a una lata vacía. Unos instantes después, se añade otro puñado de semillas a la misma lata.
Hay que decir que, una vez dentro de la lata, los Mundurucus no pueden ver lo que hay dentro. 

Es decir, han tenido que estimar la cantidad total de semillas en el momento en que se añadían a la misma.

Ahora, los Mundurucus deben estimar si hay más o menos semillas dentro de la lata que las que se les presenta en otro montón.

En este caso, los Mundurucús lo hacen tan bien como nosotros. 
De nuevo, cuando se trata de estimar cantidades sin contar, los Mundurucús no se diferencian de nosotros.

En la tercera prueba, se añaden a la lata una pequeña cantidad de semillas.

A continuación, se retira una cantidad menor, y se trata entonces de adivinar el número correcto de semillas que quedan en la lata, eligiendo de entre tres proposiciones la respuesta correcta.
En este caso, los Mundurucús fracasan estrepitosamente.

Son incapaces de calcular el número exacto de semillas, es decir, en este caso, son incapaces de realizar una resta simple que comporta números de sólo una cifra.

La conclusión de estos estudios es clara.

Mientras la capacidad para estimar cantidades de una manera grosera es innata, nuestra capacidad para el cálculo exacto es aprendida y depende de los útiles simbólicos, palabras y números, que hemos inventado.

Estos resultados explican, al menos en parte, por qué las zonas del cerebro que se activan cuando realizamos un cálculo aproximativo son diferentes de las que lo hacen para el cálculo exacto.

Lo que todavía no sabemos es si esta incapacidad de los Mundurucús para el cálculo exacto les hace más o menos infelices que al resto de los mortales.

Por mi parte, sospecho que, aunque la capacidad de calcular hace posible la moderna economía, algo ha restado también a nuestras vidas, que seguramente son menos armónicas con la Naturaleza que las de los Mundurucús.

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